מה הם מספרים רציונליים? תלמידים בכירים וסטודנטים של התמחויות מתמטיות, ככל הנראה, יהיה בקלות לענות על שאלה זו. אבל אלה שמקצועם רחוק בהרבה, יהיה קשה יותר. איך זה באמת?

המהות והיעוד

לפי מספרים רציונליים,אשר יכול להיות מיוצג כמו חלק פשוט. חיובי, שלילי, וגם אפס גם להיכנס סט זה. המונה של השבר חייב להיות מספר שלם, והמכנה חייב להיות מספר טבעי.

קבוצה זו במתמטיקה מסומנת כ- Q ונקרא "שדה המספרים הרציונליים". יש להזין את כל מספרים שלמים וטבעי, מסומן בהתאמה כמו Z ו N. באותו סט ש נכנסת סט ר. זה מכתב זה מציין מה שמכונה מספרים אמיתיים או אמיתיים.

מבוא

מה הם מספרים רציונליים

כאמור, מספרים רציונליים הםקבוצה, הכוללת את כל מספר שלם ואת ערכי השבר. הם יכולים להיות מוצגים בצורות שונות. ראשית, בצורה של שברים רגילים: 5/7, 1/5, 11/15, וכו 'כמובן, מספרים שלמים ניתן גם לכתוב בצורה דומה: 6/2, 15/5, 0/1, 10/2, וכן הלאה.שנית, סוג אחר של ייצוג הוא שבר עשרוני עם חלק חלקי סופית: 0.01, -15.001006, וכו 'זה אולי אחד הצורות הנפוצות ביותר נתקל.

אבל יש גם שליש - חלק תקופתי. סוג זה אינו נפוץ מאוד, אבל הוא עדיין בשימוש. לדוגמה, חלק 10/3 ניתן לכתוב כמו 3,33333 ... או 3, (3). במקרה זה, ייצוגים שונים ייחשבו מספרים אנלוגיים. שברים שווים, למשל 3/5 ו 6/10, ייקרא גם. נראה כי התברר מה הם מספרים רציונליים. אבל למה להשתמש במונח זה לייעוד שלהם?

מקור השם

המילה "רציונלית" ברוסית המודרניתבמקרה הכללי יש משמעות שונה במקצת. זה די "סביר", "מכוונת". אבל מונחים מתמטיים קרובים למשמעות הישירה של מילה שאולה. בלטינית, "יחס" הוא "יחס", "חלק" או "חלוקה". לכן, השם משקף את המהות של מה מספרים רציונליים. עם זאת, הערך השני

מספרים רציונליים הם
לא רחוק מן האמת.

פעולות איתם

כאשר אנו פותרים בעיות מתמטיות, אנחנו כל הזמןאנו נתקלים במספרים רציונליים מבלי לדעת זאת בעצמנו. ויש להם מספר תכונות מעניינות. כל אחד מהם פעל מתוך ההגדרה של הסט, או פעולות.

ראשית, מספרים רציונליים יש את הנכסיחסי סדר. משמעות הדבר היא כי בין שני המספרים קיים קשר אחד בלבד - הם שווים זה לזה, או אחד גדול או פחות מזה. E:

או a = b; או a> b, או <b.

בנוסף, תכונה זו מרמזת גם על הרגישות של היחס. כלומר, אם א יותר מ, יותר מ c, אם כך א יותר מ c. בשפה של המתמטיקה, זה נראה כך:

(a> b) ^ (b> c) => (a> c).

שנית, יש פעולות אריתמטיות עםמספרים רציונליים, כלומר, חיבור, חיסור, חלוקה וכמובן, כפל. בתהליך זה, ניתן להבחין במספר מאפיינים גם בתהליך השינוי.

פעולות עם מספרים רציונליים

  • + b = b + a (שינוי מקום מושגים, קומוטטיביות);
  • 0 + a = a 0;
  • (a + b) + c = a + (b + c) (אסוציאטיביות);
  • + (-a) = 0;
  • ab = ba;
  • (ab) c = a (bc) (distributivity);
  • x 1 = 1 x a = a;
  • x (1 / a) = 1 (כאן, לא 0);
  • (a + b) c = ac + ab;
  • (a> b) ^ (c > 0) => (ac> bc).

כשמדובר רגיל, ולאעשרוני, שברים או מספרים שלמים, פעולות עם אותם יכול לגרום קשיים מסוימים. לפיכך, חיבור וחיסור אפשריים רק אם המכנים שווים. אם הם שונים בתחילה, אתה צריך למצוא משותף, באמצעות הכפל של השבר כולו על ידי מספרים מסוימים. השוואה היא גם לרוב אפשרי רק אם תנאי זה הוא פגש.

אגף וכפל של שברים רגיליםנעשים בהתאם לכללים פשוטים למדי. ההפחתה למכנה המשותף אינה הכרחית. המונים והמכפילים מוכפלים בנפרד, ואילו בתהליך ביצוע הפעולה, אם ניתן, יש למזער ולפצל את החלק ככל הניתן.

באשר לחלוקה, פעולה זו דומה לזו הראשונה עם הבדל קטן. עבור החלק השני, למצוא את ההופכי, כלומר

מספרים רציונליים
"סובב" את זה. לכן, את המונה של החלק הראשון יהיה צורך להכפיל את המכנה השני ולהיפך.

לבסוף, תכונה נוספת הטבועה רציונליתהמספרים, נקרא אקסיומה של ארכימדס. לעתים קרובות בספרות יש גם את השם "עקרון". זה תקף עבור כל קבוצה של מספרים אמיתיים, אבל לא בכל מקום. לפיכך, עיקרון זה אינו חל על קבוצות מסוימות של פונקציות רציונליות. במהותה, אקסיומה זו פירושה שאם יש שני כמויות a ו- b, אתה תמיד יכול לקחת מספר מספיק של יעלה על ב.

היקף היישום

אז, אלה שלמדו או לזכור מהמתברר כי הם משמשים בכל מקום: בחשבונאות, כלכלה, סטטיסטיקה, פיסיקה, כימיה ומדעים אחרים. באופן טבעי, יש להם גם מקום במתמטיקה. לא תמיד בידיעה שאנחנו מתמודדים איתם, אנחנו כל הזמן משתמשים במספרים רציונליים. עדיין ילדים צעירים, לומדים לספור פריטים, חיתוך תפוח לחתיכות או ביצוע פעולות פשוטות אחרות, להתמודד איתם. הם ממש מקיפים אותנו. עם זאת, הם לא מספיק כדי לפתור כמה בעיות, בפרט, על ידי דוגמה של משפט Pythagoras אחד יכול להבין את הצורך להציג את הרעיון של מספרים לא הגיוני.

</ p>