המראה של המושג אינטגרל היה בשלהצורך למצוא פונקציה אנטי-רדיקטיבית ביחס לנגזרת שלה, כמו גם לקבוע את כמות העבודה, את השטח של דמויות מורכבות, את המרחק נסע, עם פרמטרים המתוארים על ידי עקומות המתואר על ידי נוסחאות לא לינארית.

כמובן

מהו אינטגרל
ו פיסיקאים יודעים כי העבודה שווה למוצרכוח על מרחק. אם כל תנועה מתרחשת במהירות קבועה או את המרחק הוא להתגבר עם היישום של אותו כוח, אז הכל ברור, אתה פשוט להכפיל אותם. מהו חלק בלתי נפרד של קבוע? זוהי פונקציה ליניארית של הצורה y = kx + c.

אבל הכוח יכול להשתנות במהלך העבודה, ובאיזו תלות טבעית. אותו מצב עולה עם חישוב המרחק נסע אם המהירות אינה קבועה.

אז, ברור למה הוא אינטגרל. קביעתו כסכום המוצרים של ערכי הפונקציה על ידי תוספת אינפיניטסימלית של הטיעון מתארת ​​את המשמעות העיקרית של מושג זה כשטח של הדמות שמחוברת מלמעלה על ידי קו הפונקציה, ובדרכים הקצוות של ההגדרה.

ז'אן גסטון דרבו, מתמטיקאי צרפתי, בבמחצית השנייה של המאה XIX הסביר בבירור מה אינטגרל. הוא עשה זאת בבירור, שבסך הכל, לא קשה אפילו לתלמיד חטיבת הביניים להבין את השאלה הזאת.

הגדרה אינטגרלית

נניח שיש פונקציה של כל צורה מורכבת. ציר y, שעליו מופקדים הערך של הטיעון, מחולק מרווחים קטנים, באופן אידיאלי, הם קטנים לאין שיעור, אלא משום מושג אינסוף הוא מופשט לגמרי, זה מספיק כדי לדמיין רק חתיכות קטנות, הכמות אשר בדרך כלל הוא כונה על ידי האות היוונית Δ (דלתא).

הפונקציה "חתכה" לבנים קטנות.

לכל ערך של הטיעון יש נקודה בציר של צירים, שבו הערכים המתאימים של הפונקציה הם זממו. אבל מאז גבולות הקטע הנבחר הם שניים, ואז הערכים של הפונקציה יהיה גם שניים, גדולים יותר ויותר.

סך כל המוצרים של ערכים גדוליםתוספת Δ נקראת סכום Darboux גדול, והוא מסומן S. לפיכך, ערכים קטנים יותר על החלק המוגבל כפול Δ כל יחד מהווים סכום קטן Darboux. הקטע עצמו דומה לטרפז מלבני, שכן עקמומיות קו הפונקציה יכולה להיות מוזנחת עם תוספת זעירה. הדרך הפשוטה ביותר למצוא את השטח של דמות גיאומטרית כזו היא להוסיף מוצרים של ערך גדול יותר וקטן יותר לתוספת Δ ולחלק לשניים, כלומר, להגדיר אותו כממוצע אריתמטי.

זהו אינטגרל דרבוקס:

s = Σf (x) Δ הוא סכום קטן;

S = Σf (x + Δ) Δ הוא סכום גדול.

אז, מה הוא אינטגרל? האזור המחובר לקו הפונקציה וגבולות ההגדרה יהיו:

המשמעות הפיזית של האינטגרל

∫f (x) dx = {(S + s) / 2} + c

כלומר, הממוצע האריתמטי של סכומי Darboux גדולים וקטנים הוא ערך קבוע, אשר בוטל על ידי הבחנה.

המשך מן הביטוי הגיאומטרי של זהמושג, המשמעות הפיזית של אינטגרל מתבהר. שטח הדמות, המתואר על ידי מהירות הפונקציה, ומוקף על ידי מרווח הזמן לאורך abscissa, יהיה אורך השביל חוצה.

L = ∫f (x) dx על המרווח מ t1 ל t2,

איפה

f (x) היא פונקציית המהירות, כלומר, הנוסחה שבה היא משתנה עם הזמן;

L הוא אורך הדרך;

T1 - זמן תחילת השביל;

t2 הוא שעת הסיום של הנתיב.

בדיוק לפי אותו עיקרון, נקבע גודל היצירה, רק לאורך האבסיסה יוכנס המרחק, ובכוונת כוח הכוח המיושם בנקודה מסוימת.

</ p>