מספרים מורכבים. המשמעות והאבולוציה של "כמויות דמיוניות"
המספרים הם אובייקטים מתמטיים בסיסיים,הכרחי עבור חישובים שונים וחישובים. מכלול ערכים מספריים טבעיים, שלמים, רציונאליים ואי-רציונליים יוצר קבוצה של מה שמכונה מספרים אמיתיים. אבל יש גם קטגוריה יוצאת דופן למדי - מספרים מורכבים, שהוגדר על ידי רנה דקארט כמו "ערכים דמיוניים". ואחד המתמטיקאים המובילים של המאה השמונה עשרה, הציע לנארד אוילר לציין אותם במכתב i מן המילה הצרפתית imaginare (דמיוני). מה הם מספרים מורכבים?
כביכול כביטוי של טופס + bi, שבוו- b הם מספרים אמיתיים, ואני הוא אינדיקטור דיגיטלי של ערך מיוחד, הריבוע שבו הוא -1. פעולות על מספרים מורכבים מבוצעים על ידי אותם כללים כמו פעולות מתמטיות שונות על פולינומים. קטגוריה מתמטית זו אינה מבטאת את התוצאות של מדידות או חישובים. כדי לעשות זאת, זה מספיק כדי לקבל מספרים אמיתיים. אז למה הם באמת צריכים?
מספרים מורכבים, כמושג מתמטי,יש צורך במשוואות מסוימות עם מקדמי אמיתי אין פתרון באזור של מספרים "רגילים". כתוצאה מכך, כדי להרחיב את היקף פתרון אי השוויון, היה צורך להציג קטגוריה מתמטית חדשה. מספרים מורכבים, שיש להם ערך תיאורטי מופשט, מאפשרים לפתור משוואות כמו x2 +1 = 0. יש לציין כי למרות כל הפורמליות המובהקת שלה, קטגוריית המספרים הזו היא די פעילה ונרחבת, למשל, לפתרון בעיות מעשיות שונות של תורת האלסטיות, הנדסת חשמל, אווירודינמיקה, הידרו-מכניקה, פיזיקה אטומית ותחומים מדעיים אחרים.
המודול וארגומנט המספר המורכב משמשיםבעת בניית גרפים. צורה זו של הכתיבה נקראת טריגונומטריה. בנוסף, הפרשנות הגיאומטרית של מספרים אלה הרחיבה עוד יותר את היקף יישומם. ניתן היה להשתמש בהם לחישובים קרטוגרפיים שונים.
המתמטיקה עברה דרך ארוכה מן הפשוטה ביותרמספרים טבעיים למערכות מורכבות מורכבות ותפקידיהם. בנושא זה ניתן לכתוב ספר לימוד נפרד. כאן אנו רואים רק כמה רגעים אבולוציוניים של תורת המספרים, כך שכל התנאים ההיסטוריים והמדעיים להופעתה של קטגוריה מתמטית נתונה מתבהרים.
מתמטיקאים יוונים עתיקים נחשבו"אמיתי" מספרים טבעיים בלבד, אשר ניתן להשתמש בהם כדי לספור משהו. כבר באלף השני לפנה"ס. ה. מצרים העתיקה ובבלים בחישובים מעשיים שונים בשימוש פעיל שברים. ציון הדרך החשוב הבא בפיתוח המתמטיקה היה הופעתם של מספרים שליליים בסין העתיקה מאתיים שנה לפני תקופתנו. הם גם שימשו ידי המתמטיקאי היווני העתיק Diophantus, שהכירו את הכללים של פעולות פשוטות עליהם. בעזרת מספרים שליליים ניתן היה לתאר שינויים שונים בכמויות לא רק במישור החיובי.
במאה השביעית של תקופתנו היא הוקמה במדויק,כי שורשי הריבוע של מספרים חיוביים תמיד יש שני ערכים - למעט חיובי, גם שלילי. מן האחרון, זה היה בלתי אפשרי לחלץ את השורש הריבועי על ידי שיטות אלגבריות הרגילות של אותו זמן: אין ערך של x כך x2 9. 9. במשך זמן רב זה לא ממש משנה. ורק במאה השש-עשרה, כאשר הופיעו משוואות מעוקבות והתחילו ללמוד באופן פעיל, היה צורך לחלץ את השורש הריבועי של המספרים השליליים, שכן הנוסחה לפתרון ביטויים אלה מכילה לא רק מעוקבים אלא גם שורשים מרובעים.
נוסחה כזו היא מושלמת אם המשוואה לאיותר משורש אמיתי אחד. במקרה של נוכחות של שלושה שורשים אמיתיים במשוואה, כאשר הם נרפא, מספר עם ערך שלילי התקבל. אז התברר כי הדרך לחלץ את שלושת השורשים טמונה דרך פעולה בלתי אפשרי מבחינת המתמטיקה של אותו זמן.
להסביר את הפרדוקס שנוצרהאלגבראיסט האיטלקי י 'קרדנו התבקש להציג קטגוריה חדשה של מספרים בעלי אופי יוצא דופן, שנקראו מורכבים. זה מעניין כי Cardano עצמו נחשב להם חסר תועלת ובכל דרך אפשרית ניסה להימנע משימוש באותה קטגוריה מתמטית המוצעת על ידו. אבל כבר בשנת 1572 הופיע ספר של אלגברה איטלקית נוספת Bombelli, שבו כללי הפעולה על מספרים מורכבים פורטו בפירוט.
במהלך המאה השבע עשרה כולה,דיון על האופי המתמטי של מספרים אלה ועל האפשרויות של הפרשנות הגיאומטרית שלהם. כמו כן, הטכניקה של עבודה איתם היה בהדרגה השתפר ושיפור. ובתור המאות ה -17 וה -18 נוצרה תיאוריה כללית של מספרים מורכבים. תרומה עצומה לפיתוח ושיפור התיאוריה של פונקציות של משתנים מורכבים הוכנס על ידי מדענים רוסים וסובייטיים. NI Muskhelishvili היה מעורב ביישום שלה לבעיות של התיאוריה של גמישות, קלדיש ו Lavrentyev מצאו יישום למספרים מורכבים בתחום הידרו ואווירודינמיקה, ולדימירוב ו Bogolyubov בתורת השדה הקוונטי.
</ p>
